Упр.845 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ соответственно — середины сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что при пересечении прямых $$AQ$$, $$BR$$, $$CT$$ и $$DP$$ образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма $$ABCD$$.
В треугольнике $$ABC$$ проведена высота $$BD$$. Отрезок $$KA$$ перпендикулярен к отрезку $$AB$$ и равен отрезку $$DC$$, отрезок $$CM$$ перпендикулярен к отрезку $$BC$$ и равен отрезку $$AD$$. Докажите, что отрезки $$MB$$ и $$KB$$ равны.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямых так: $$E=AQ\cap DF,$$ $$F=BR\cap AQ,$$ $$G=CT\cap BR,$$ $$H=DP\cap CT.$$

Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT$$. Так как $$P,Q,R,T$$ — середины сторон параллелограмма, то

$$AB=CD,\qquad BQ=DT=\frac12 AD,\qquad \angle B=\angle D.$$

Следовательно, $$\triangle ABQ \cong \triangle CDT$$ по первому признаку, значит

$$\angle BQA=\angle DTC.$$

Кроме того, $$AD\parallel BC$$, а прямая $$AQ$$ — секущая, поэтому

$$\angle BQA=\angle DAQ.$$

Тогда

$$\angle DTC=\angle DAQ,$$

откуда $$AQ\parallel TC$$.

Аналогично рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP$$. Имеем

$$BC=DA,\qquad CR=AP=\frac12 AB,\qquad \angle C=\angle A.$$

Значит, $$\triangle BCR \cong \triangle DAP$$, поэтому

$$\angle BRC=\angle DPA.$$

Так как $$AB\parallel CD$$, то соответствующие углы равны, и получаем

$$BR\parallel PQ.$$

Итак, $$AQ\parallel TC$$ и $$BR\parallel PQ$$, следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$EFGH$$ попарно параллельны. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Найдём отношение площадей. Поскольку $$Q$$ и $$T$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AD$$, то

$$\frac{S_{AQCT}}{S_{ABCD}}=\frac{AT}{AD}=\frac12,$$

а также

$$\frac{S_{PBRD}}{S_{ABCD}}=\frac{PB}{AB}=\frac12.$$

Рассмотрим треугольники $$DHT$$ и $$DEA$$. Из подобия соответствующих частей на чертеже получаем

$$\frac{DT}{DA}=\frac12,$$

поэтому

$$S_{DHT}=\frac14 S_{DEA}.$$

Так как $$S_{DEA}=4S_{DHT},$$ то

$$S_{AEHT}=S_{DEA}-S_{DHT}=3S_{DHT}.$$

Теперь выразим площадь параллелограмма $$EFGH$$ через часть $$AQCT$$:

$$S_{EFGH}=S_{AQCT}-6S_{DHT}=\frac12 S_{ABCD}-6S_{DHT}.$$