Упр.844 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$, а на отрезке $$MK$$ — точка $$P$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площади треугольников $$AMP$$ и $$BKP$$ равны $$S_1$$ и $$S_2$$.
2. Внутри прямоугольника $$ABCD$$ взята точка $$M$$. Известно, что $$MB=a$$, $$MC=b$$ и $$MD=c$$. Найдите длину отрезка $$MA$$.

Обозначим

$$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k.$$

Тогда из подобия треугольников с общей вершиной в точке $$P$$ получаем:

$$\frac{S_{AMP}}{S_{APK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит

$$S_{APK}=\frac{S_1}{k}.$$

Следовательно,

$$S_{AMK}=S_{AMP}+S_{APK}=S_1+\frac{S_1}{k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$

Так как

$$\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}}=\frac{AM}{MC}=k,$$

то

$$S_{KMC}=\frac{S_{KAM}}{k}=\frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1}{k}=\frac{k+1}{k^2}S_1.$$

Тогда

$$S_{ACK}=S_{AKM}+S_{KMC}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1+\frac{k+1}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1.$$

Аналогично, из отношения

$$\frac{CK}{KB}=k$$

получаем

$$\frac{S_{AKB}}{S_{AKC}}=\frac{KB}{CK}=\frac{1}{k},$$

поэтому

$$S_{AKB}=\frac{1}{k}S_{AKC}=\frac{(k+1)^2}{k^3}S_1.$$

Но

$$S_{ABC}=S_{ACK}+S_{AKB}=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1+\frac{(k+1)^2}{k^3}S_1=\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1.$$

С другой стороны, рассмотрим треугольники с площадью $$S_2$$:

$$\frac{S_{BMP}}{S_{BPK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит

$$S_{BMP}=kS_2,$$

и тогда

$$S_{BMK}=S_{BMP}+S_{BPK}=(k+1)S_2.$$

Далее

$$\frac{S_{MCK}}{S_{MKB}}=\frac{CK}{KB}=k,$$

откуда

$$S_{MCK}=k(k+1)S_2.$$

Следовательно,

$$S_{BCM}=S_{MCK}+S_{MKB}=(k+1)^2S_2.$$

И, наконец,

$$\frac{S_{BAM}}{S_{BMC}}=\frac{AM}{MC}=k,$$

поэтому

$$S_{BAM}=k(k+1)^2S_2.$$

Тогда

$$S_{ABC}=S_{BAM}+S_{BMC}=(k+1)^3S_2.$$

Приравниваем два выражения для площади треугольника $$ABC$$:

$$\frac{(k+1)^3}{k^3}S_1=(k+1)^3S_2.$$

Отсюда

$$k^3=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}.$$

Подставляем в формулу для площади:

$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2=\left(\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)^3S_2.$$

Преобразуем:

$$S_{ABC}=\left(\frac{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}}\right)^3S_2=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$

Ответ: $$S_{ABC}=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$