Упр.843 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$K$$. Отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$CMK$$, если площади треугольников $$OMA$$, $$OAB$$ и $$OBK$$ равны соответственно $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.
- Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ продолжена за точку $$A$$ на отрезок $$AD$$, равный $$AC$$. На лучах $$BA$$ и $$BC$$ взяты точки $$K$$ и $$M$$ так, что площади треугольников $$BDM$$ и $$BCK$$ равны. Найдите угол $$BKM$$, если угол $$BAC = а$$.
Пусть $$S_{OMA}=S_1,\quad S_{OAB}=S_2,\quad S_{OBK}=S_3.$$
Обозначим через $$S_{AMK}$$ площадь треугольника $$AMK$$, а через $$S_{CMK}$$ — искомую площадь.
Так как точки $$M$$ и $$K$$ лежат соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$, а отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$, то треугольники $$OAB$$ и $$OBK$$ имеют общую высоту, опущенную из $$O$$ на прямую $$BK$$, а треугольники $$OMA$$ и $$OAB$$ — общую высоту, опущенную из $$O$$ на прямую $$AB$$. Поэтому
$$\frac{S_{OBK}}{S_{OAB}}=\frac{OK}{OA},\qquad \frac{S_{OMA}}{S_{OAB}}=\frac{OM}{OB}.$$
Из подобия треугольников, образованных секущими $$AK$$ и $$BM$$, получаем соотношение площадей
$$S_{AMK}= \frac{S_1S_3}{S_2}.$$
Площадь всего треугольника $$ABC$$ равна сумме площадей четырёх частей:
$$S_{ABC}=S_{OMA}+S_{OAB}+S_{OBK}+S_{AMK}=S_1+S_2+S_3+S_{AMK}.$$
С другой стороны, треугольник $$CMK$$ дополняет треугольник $$AMK$$ до всего треугольника $$ABC$$, значит
$$S_{CMK}=S_{ABC}-S_{OMA}-S_{OAB}-S_{OBK}-S_{AMK}.$$
Подставим найденное значение $$S_{AMK}$$ и выразим $$S_{CMK}$$ через $$S_1,S_2,S_3$$:
$$S_{CMK} = S_1+S_2+S_3+\frac{S_1S_3}{S_2}-S_1-S_2-S_3-\frac{S_1S_3}{S_2}$$
После упрощения получаем
$$S_{CMK}=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}.$$
Ответ: $$\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}$$.
