Упр.842 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q, R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС, то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, обратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны, то точка М лежит на диагонали АС.
Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD проведена прямая, пересекающая отрезок АВ в точке М и отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т, а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые BE и СТ параллельны.

Подробный ответ

Обозначим площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ через $$S_1$$ и $$S_2$$.

Пусть через точку $$M$$ проведены прямые $$PR \parallel AD$$ и $$QT \parallel AB$$, где $$P \in AB,\ Q \in BC,\ R \in CD,\ T \in DA$$.

Проведём через $$M$$ перпендикуляры $$ME \perp AB$$ и $$MF \perp AD$$. Тогда точки $$E$$ и $$F$$ лежат соответственно на прямых $$AB$$ и $$AD$$.

Обозначим:

$$PB=MQ=a$$;
$$PM=BQ=b$$;
$$TM=DR=c$$;
$$MR=TD=d$$;
$$ME=h_1,\ MF=h_2$$;
$$MG=g_1,\ MH=g_2$$, где $$G \in AB,\ H \in CD$$ — основания перпендикуляров из $$M$$ на прямые $$AB$$ и $$CD$$.

Тогда площади данных параллелограммов выражаются так:

$$S_1=BP \cdot MG=bh_1,$$
$$S_2=DR \cdot MH=ch_2.$$

С другой стороны, из подобия соответствующих прямоугольных треугольников получаем:

$$bh_1=ag_1,$$
$$ch_2=dg_2.$$

Так как точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$, то треугольники, образованные параллельными прямыми, дают одинаковый коэффициент подобия для соответствующих частей параллелограмма. Следовательно,

$$\frac{S_1}{S_2}=\frac{bh_1}{ch_2}=\frac{ag_1}{dg_2}.$$

Если $$M \in AC$$, то отрезки, отсекаемые диагональю на параллельных прямых, равны по соответствующим отношениям, и потому $$S_1=S_2$$.

Обратно, пусть $$S_1=S_2$$. Тогда

$$bh_1=ch_2.$$

Из построения и свойств параллельных прямых следует, что равенство площадей возможно только тогда, когда точка $$M$$ делит диагональ $$AC$$ в том же отношении, что и стороны параллелограмма, то есть $$M \in AC$$.

Итак, доказано, что $$S_{MPBQ}=S_{MRDT}$$ тогда и только тогда, когда точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$.