Упр.841 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.
Прямая, проходящая через вершину $$C$$ параллелограмма $$ABCD$$, пересекает прямые $$AB$$ и $$AD$$ в точках $$K$$ и $$M$$. Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников $$KBC$$ и $$CDM$$ равны соответственно $$S_1$$ и $$S_2$$.

Подробный ответ

а) Пусть прямая $$MN$$ — ось симметрии треугольника $$ABC$$.

По определению оси симметрии при отражении относительно прямой $$MN$$ треугольник переходит сам в себя. Значит, вершина, лежащая на оси симметрии, переходит в саму себя, а две другие вершины — друг в друга.

Следовательно, ось симметрии проходит через одну вершину треугольника и середину противоположной стороны. Обозначим точку пересечения оси с стороной $$AC$$ через $$O$$. Тогда $$AO=OC$$ и $$BO\perp AC$$.

Но если в треугольнике проведена высота $$BO$$ к стороне $$AC$$ и одновременно медиана $$BO$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, причём $$AB=BC$$.

Значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

б) Пусть у треугольника $$ABC$$ есть более одной оси симметрии. Тогда, как и в пункте а), каждая ось симметрии проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Если у треугольника две оси симметрии, проходящие через вершины $$A$$ и $$B$$, то первая ось даёт $$AB=AC$$, а вторая — $$AB=BC$$. Следовательно,

$$AB=BC=CA.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний.

У равностороннего треугольника все три оси симметрии проходят через вершины и середины противоположных сторон, поэтому осей симметрии у него ровно три. Следовательно, более чем одной оси симметрии у треугольника может быть только в случае равностороннего треугольника.