Упр.840 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.
2. Точка А лежит внутри угла, равного $$60^\circ$$. Расстояния от точки А до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Обозначим вершину угла через $$O$$, а точку внутри угла — через $$A$$. Пусть расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны $$a$$ и $$b$$, а сам угол равен $$60^\circ$$.

Проведём из точки $$A$$ перпендикуляры к сторонам угла. Их длины равны $$a$$ и $$b$$. Тогда точка $$A$$ лежит внутри угла, а расстояние до вершины $$O$$ удобно найти через построение окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке $$A$$, касающуюся обеих сторон угла. Радиус этой окружности равен расстоянию от $$A$$ до сторон угла, то есть $$a$$ и $$b$$. Из условия следует, что искомое расстояние до вершины выражается через радиус $$R$$ этой окружности:

$$AO=2R.$$

Теперь найдём $$R$$. В треугольнике, образованном радиусами к точкам касания и отрезком между ними, угол при вершине равен $$120^\circ$$, так как он дополняет угол $$60^\circ$$ до $$180^\circ$$. По теореме косинусов:

$$(2R)^2=a^2+b^2-2ab\cos120^\circ$$
$$4R^2=a^2+b^2-2ab\left(-\frac12\right)$$
$$4R^2=a^2+b^2+ab.$$

Отсюда

$$R=\frac12\sqrt{a^2+b^2+ab}.$$

Тогда

$$AO=2R=\sqrt{a^2+b^2+ab}.$$

Ответ: $$AO=\sqrt{a^2+b^2+ab}$$.