Упр.84 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Известно, что уголAOB = 35°, уголBOC = 50°. Найдите угол АОС. Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Подробный ответ

Рассмотрим два возможных случая.

1) Луч $$OB$$ лежит внутри угла $$AOC$$. Тогда углы $$AOB$$ и $$BOC$$ — смежные части угла $$AOC$$, поэтому

$$\angle AOC=\angle AOB+\angle BOC=35^\circ+50^\circ=85^\circ.$$

2) Луч $$OC$$ лежит внутри угла $$AOB$$. Тогда угол $$AOC$$ составляет разность данных углов:

$$\angle AOC=\angle BOC-\angle BOA=50^\circ-35^\circ=15^\circ.$$

Итак, возможны два значения угла $$AOC$$: $$85^\circ$$ и $$15^\circ$$.

Докажем, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть углы $$\angle 1$$ и $$\angle 3$$ — вертикальные. Тогда они равны:

$$\angle 1=\angle 3.$$

Пусть $$l_1$$ и $$l_3$$ — их биссектрисы. Тогда

$$\angle(l_1,\text{сторона угла }1)=\frac{1}{2}\angle 1,\qquad \angle(l_3,\text{сторона угла }3)=\frac{1}{2}\angle 3.$$

Так как вертикальные углы равны, то равны и их половины. Следовательно, биссектрисы образуют с соответствующими сторонами равные углы, а значит, являются продолжениями друг друга. Поэтому биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.