Упр.839 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный. Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырёхугольника ABCD соединены отрезками KD, КС, МА и MB соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам AD и ВС.

1) Обозначим $$AB=c,\ BC=a,$$ $$\angle A=\alpha,\ \angle B=\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$QCD.$$ Так как $$AC=TC=QD=b,$$ $$BC=CD=a,$$ а также $$\angle EDQ=\angle BCT+\angle 90^\circ,$$ то $$\angle CDQ=\angle C.$$ Следовательно, по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle ABC \cong \triangle QCD.$$

Значит, $$CQ=c,$$ а также

$$\angle ACQ=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$

2) Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$PEB.$$ Имеем:

$$AB=KB=PE=c,$$
$$BC=EB=a.$$

Кроме того,

$$\angle PEB=180^\circ-\angle KBE=180^\circ-(360^\circ-290^\circ-\angle B)=\angle B.$$

По первому признаку равенства треугольников

$$\triangle ABC \cong \triangle PEB.$$

Следовательно, $$PB=b,$$ и

$$\angle PBA=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$

3) Теперь рассмотрим треугольники $$PBA$$ и $$ACQ.$$ Так как

$$\angle PBA=\angle ACQ=90^\circ+\alpha,$$
$$BA=CQ=c,$$
$$PB=AC=b,$$

то по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle PBA \cong \triangle ACQ.$$

Следовательно, $$PA=AQ,$$ значит, $$\triangle APQ$$ равнобедренный с основанием $$PQ.$$

4) Обозначим

$$\angle PBA=\angle CAQ=\gamma,\qquad \angle BAP=\angle CQA=\beta.$$

Тогда сумма углов треугольника даёт:

$$\gamma+\delta+(90^\circ+\alpha)=180^\circ,$$

откуда

$$\gamma+\delta+\alpha=90^\circ.$$

Следовательно, угол при вершине $$A$$ треугольника $$APQ$$ равен

$$\angle PAQ=\angle BAP+\angle A+\angle CAQ=\delta+\alpha+\gamma=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle APQ$$ прямоугольный.

Итак, $$\triangle APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.

Ответ

$$\triangle APQ$$ — прямоугольный и равнобедренный.