Упр.839 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены квадраты $$BCDE$$, $$АСТМ$$, $$ВАНК$$, а затем параллелограммы $$TCDQ$$ и $$ЕВКР$$. Докажите, что треугольник $$APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.
- Середины $$К$$ и $$М$$ сторон $$АВ$$ и $$DC$$ выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$ соединены отрезками $$KD$$, $$КС$$, $$МА$$ и $$MB$$ соответственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёхугольника, заключённого между этими отрезками, равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам $$AD$$ и $$ВС$$.
Пусть $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta.$$
Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$QCD.$$ Так как $$AC=TC=QD=b,$$ $$BC=CD=a,$$ а $$\angle EDQ=\angle BCT=\angle C+90^\circ,$$ то $$\angle CDQ=\angle C.$$ Следовательно, по первому признаку равенства треугольников
$$\triangle ABC \cong \triangle QCD.$$
Отсюда $$CQ=c,$$ а также
$$\angle ACQ=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$PEB.$$ Имеем:
$$AB=KB=PE=c,$$
$$BC=EB=a,$$
$$\angle PEB=180^\circ-\angle KBE=180^\circ-(360^\circ-290^\circ-\angle B)=\angle B.$$
Значит, по первому признаку равенства треугольников
$$\triangle ABC \cong \triangle PEB,$$
поэтому $$PB=b,$$ а
$$\angle PBA=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Рассмотрим треугольники $$PBA$$ и $$ACQ.$$ У них
$$\angle PBA=\angle ACQ=90^\circ+\alpha,$$
$$BA=CQ=c,$$
$$PB=AC=b.$$
Следовательно, $$\triangle PBA \cong \triangle ACQ$$ по первому признаку равенства треугольников. Значит,
$$PA=AQ.$$
Итак, $$\triangle APQ$$ равнобедренный с основанием $$PQ.$$
Обозначим
$$\angle PBA=\angle CAQ=\gamma,$$
$$\angle BAP=\angle CQA=\delta.$$
Тогда из суммы углов треугольника получаем
$$\gamma+\delta+(90^\circ+\alpha)=180^\circ,$$
откуда
$$\gamma+\delta+\alpha=90^\circ.$$
Следовательно, угол при вершине $$A$$ треугольника $$APQ$$ равен
$$\angle PAQ=\angle BAP+\angle A+\angle CAQ=\delta+\alpha+\gamma=90^\circ.$$
Значит, $$\triangle APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.
Ответ
$$\triangle APQ$$ — прямоугольный и равнобедренный.
