Упр.838 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

• Внутри квадрата $$ABCD$$ взята такая точка $$M$$, что $$\angle MAB=60^\circ$$, $$\angle MCD=15^\circ$$. Найдите угол $$MBC$$.
• Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в три раза меньше площади самого четырёхугольника.

Обозначим сторону квадрата через $$a.$$

Рассмотрим треугольник $$AMD.$$ Так как в квадрате $$\angle A = \angle D = 90^\circ,$$ то

$$\angle MAD = 90^\circ — \angle MAB = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ,$$
$$\angle MDA = 90^\circ — \angle MCD = 90^\circ — 15^\circ = 75^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMD = 180^\circ — (30^\circ + 75^\circ) = 75^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$AMD$$ равнобедренный, значит

$$AM = AD = a.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM.$$ В нём

$$AB = AD = AM = a,$$

значит, треугольник $$ABM$$ равносторонний. Поэтому

$$\angle ABM = 60^\circ.$$

Так как $$BC \perp AB,$$ то

$$\angle MBC = 90^\circ — \angle ABM = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.