Упр.837 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму $$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE$$.
Сторона $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$ продолжена за точку $$B$$ на отрезок $$BE$$, а сторона $$AD$$ продолжена за точку $$D$$ на отрезок $$DK$$. Прямые $$ED$$ и $$KB$$ пересекаются в точке $$O$$. Докажите, что площади четырёхугольников $$ABOD$$ и $$CEOK$$ равны.

Подробный ответ

Обозначим точку пересечения прямых $$BC$$ и $$DE$$ через $$F$$, а точку пересечения прямых $$KB$$ и $$DC$$ — через $$G$$.

Тогда

$$S_{ABOD}=S_{ABD}+S_{BOD}=\frac12S_{ABCD}+S_{BOD}$$

$$S_{CEOK}=S_{CED}-S_{AGD}+S_{CGK}=\frac12S_{ABCD}+S_{CGK}-S_{OGD}$$

Кроме того,

$$S_{BOG}=S_{BDK}-S_{DGK}, \qquad S_{CGK}=S_{CDK}-S_{DGK}.$$

Треугольники $$BDK$$ и $$CDK$$ имеют общее основание $$DK$$ и равные высоты, так как $$BD \parallel CK$$. Значит,

$$S_{BDK}=S_{CDK}.$$

Следовательно,

$$S_{BOG}=S_{CGK}.$$

Тогда из предыдущих равенств получаем