Упр.836 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. На стороне $$CD$$ квадрата $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$. Биссектриса угла $$BAM$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$AM = BK + DM$$.
- Задание учебника 2023 года. Прямая, проходящая через середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ четырёхугольника $$ABCD$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$. Докажите, что площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Тогда прямая $$EF$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$M$$ и $$K$$.
Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$CME$$. Так как $$E$$ — середина диагонали $$AC$$, то $$AE=EC$$. Кроме того, точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а $$E, M, K$$ — на одной прямой, поэтому углы при пересечении прямых дают равные высоты к основанию $$AC$$. Следовательно, площади треугольников с общим основанием $$MC$$ и равными высотами равны:
$$S_{AMC}=S_{CME}.$$
Аналогично, из того что $$F$$ — середина диагонали $$BD$$, получаем равенство площадей треугольников, имеющих общее основание и равные высоты:
$$S_{BMF}=S_{DMF}.$$
Сложим полученные равенства:
$$S_{AMC}+S_{BMF}=S_{CME}+S_{DMF}.$$
Но точки $$E$$ и $$F$$ лежат на одной прямой $$EF$$, а точки $$M$$ и $$K$$ — на одной прямой, поэтому левая и правая части можно перегруппировать как площади треугольников $$AKB$$ и $$DCM$$. В результате получаем:
$$S_{AKB}=S_{DCM}.$$
Следовательно, площади треугольников $$DCM$$ и $$AKB$$ равны.
Ответ: $$S_{DCM}=S_{AKB}$$.
