Упр.835 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата. Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения диагоналей квадратов так: $$E=AB_2\cap BA_2,$$ $$F=BC_1\cap CB_1,$$ $$G=CD_2\cap DC_2,$$ $$H=DA_1\cap AD_1.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AB=CD$$ и $$AD=BC.$$

В квадрате диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому

$$AE=EB,\quad BF=FC,\quad CG=GD,\quad AH=HD.$$

Кроме того, диагонали квадрата образуют с его сторонами угол $$45^\circ$$. Пусть $$\angle A=\angle C=\alpha,$$ тогда $$\angle B=\angle D=180^\circ-\alpha.$$

Рассмотрим углы четырёхугольника $$EFGH$$:

$$\angle HAE=\alpha+45^\circ,\qquad \angle EBF=45^\circ+\angle B=225^\circ-\alpha,$$

откуда

$$\angle AEB=180^\circ-\angle HAE-\angle EBF=90^\circ.$$

Аналогично получаем

$$\angle EFG=\angle GHD=\angle EHG=\angle FGH=90^\circ.$$

Теперь докажем равенство сторон четырёхугольника $$EFGH$$. Из равенства треугольников $$\triangle HAE$$ и $$\triangle FBE$$ следует, что

$$HE=EF.$$

Аналогично из равенства треугольников $$\triangle EFG$$ и $$\triangle HDG$$ получаем

$$FG=GH.$$

Следовательно, $$EFGH$$ — ромб. Но у него один угол прямой, значит, все углы прямые. Следовательно, $$EFGH$$ — квадрат.