Упр.835 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.
Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции.

Подробный ответ

Обозначим через $$S_{EGOHF}$$ площадь пятиугольника, а через $$S_{ABG},\ S_{BCO},\ S_{DCH}$$ — площади треугольников, прилежащих соответственно к боковой стороне $$AB$$, к меньшему основанию $$BC$$ и к боковой стороне $$CD$$.

Пусть высота трапеции равна $$h$$. Тогда треугольники $$ABC$$ и $$BCD$$ имеют общее основание $$BC$$ и одинаковую высоту $$h$$, поэтому

$$S_{ABC}=S_{BCD}=\frac12\cdot BC\cdot h.$$

Тогда

$$S_{ABG}+S_{BGO}+S_{BOC}=S_{ABC},$$

$$S_{DCH}+S_{COH}+S_{BOC}=S_{BCD}.$$

Складывая эти равенства, получаем

$$S_{ABG}+S_{BGO}+2S_{BOC}+S_{COH}+S_{DCH}=S_{ABC}+S_{BCD}=BC\cdot h.$$

С другой стороны, четырёхугольник $$EGOHF$$ вместе с треугольниками $$BGO$$, $$BOC$$ и $$COH$$ составляет всю трапецию, значит

$$S_{EGOHF}+S_{BGO}+S_{BOC}+S_{COH}=S_{ABCD}.$$

Но площадь трапеции равна сумме площадей треугольников $$ABC$$ и $$BCD$$, то есть

$$S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{BCD}.$$

Следовательно,