Упр.833 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

1. Докажем, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям.

Пусть в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.

Продолжим боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ до пересечения в точке $$M$$.

Так как трапеция равнобедренная, то $$\angle A=\angle D$$. Следовательно, в треугольниках $$MBC$$ и $$MAD$$ углы при основаниях равны, значит, эти треугольники равнобедренные:

$$MB=MC,\qquad MA=MD.$$

В треугольнике $$MBC$$ точка $$F$$ — середина стороны $$BC$$, значит, $$MF$$ — медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому

$$MF\perp BC.$$

В треугольнике $$MAD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AD$$, значит, $$ME$$ — медиана. Аналогично получаем

$$ME\perp AD.$$

Так как $$AD\parallel BC$$, то из $$ME\perp AD$$ следует $$ME\perp BC$$. Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только один перпендикуляр, значит, прямые $$ME$$ и $$MF$$ совпадают. Следовательно, точки $$E$$, $$F$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, а потому

$$EF\perp AD,\qquad EF\perp BC.$$

2. Сформулируем и докажем обратное утверждение.

Если в трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, $$E$$ — середина $$AD$$, $$F$$ — середина $$BC$$, и $$EF\perp AD$$.

Проведём через точку $$E$$ прямую $$EK\parallel AB$$, а через точку $$F$$ — прямую $$FM\parallel AD$$. Тогда четырёхугольник $$ABEK$$ — параллелограмм, поэтому

$$AK=BE.$$

Рассмотрим треугольники $$BEA$$ и $$CED$$. Так как $$AE=ED$$, а точки $$B,E,C,F$$ лежат на одной прямой и $$EF\perp AD$$, то

$$\angle BEA=\angle CED.$$

Кроме того, из равенства соответствующих отрезков на средней линии получаем $$BE=EC$$. Тогда по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle BEA\cong \triangle CED,$$

откуда

$$AB=CD.$$

Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.

3. Докажем формулу площади трапеции.

Пусть в трапеции $$ABCD$$ основания $$AD\parallel BC$$, а точка $$E$$ — середина боковой стороны $$CD$$. Из $$E$$ опустим перпендикуляр $$EF$$ на прямую $$AB$$.

Проведём через $$E$$ прямую $$EK\parallel AB$$. Тогда четырёхугольник $$ABEK$$ — параллелограмм, значит

$$S_{ABEK}=AB\cdot EF.$$

Обозначим точки пересечения прямой $$KE$$ с основаниями: $$M=KE\cap BC$$, $$N=KE\cap AD$$.

Рассмотрим треугольники $$CEM$$ и $$DEN$$. Имеем:

$$CE=DE,$$

$$\angle CEM=\angle DEN$$

как вертикальные, а также

$$\angle MCE=\angle NDE$$

как накрест лежащие при $$AD\parallel BC$$. Следовательно,

$$\triangle CEM\cong \triangle DEN,$$

и потому

$$S_{CEM}=S_{DEN}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ANK$$ и $$BME$$. Так как $$AK\parallel BE$$ и $$AD\parallel BC$$, то

$$\angle AKN=\angle BEM,\qquad \angle NAK=\angle MBE.$$

Кроме того, $$AK=BE$$. Значит,

$$\triangle ANK\cong \triangle BME,$$

и поэтому

$$S_{ANK}=S_{BME}.$$

Тогда площадь трапеции равна

$$ S_{ABCD}=S_{ABEK}+S_{DEN}-S_{CEM}+S_{BME}-S_{ANK} = S_{ABEK}. $$

Следовательно,

$$S_{ABCD}=AB\cdot EF.$$

Ответ

Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям. Обратное утверждение: если прямая, проходящая через середины оснований трапеции, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная. Площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, опущенный из середины другой боковой стороны на прямую, содержащую первую боковую сторону: $$S_{ABCD}=AB\cdot EF$$.