Упр.833 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
- Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.
Пусть $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$AB=CD$$. Обозначим через $$E$$ и $$F$$ середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно.
Продолжим боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ до пересечения в точке $$M$$.
Так как трапеция равнобедренная, то $$\angle A=\angle D$$. Тогда в треугольниках $$MBC$$ и $$MAD$$ углы при основании равны, значит, эти треугольники равнобедренные:
$$MB=MC,\qquad MA=MD.$$
В треугольнике $$MBC$$ точка $$F$$ — середина стороны $$BC$$, поэтому $$MF$$ — медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, следовательно,
$$MF \perp BC.$$
Аналогично, в треугольнике $$MAD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AD$$, значит, $$ME$$ — медиана, а потому
$$ME \perp AD.$$
Так как $$AD \parallel BC$$, то из $$ME \perp AD$$ следует $$ME \perp BC$$. Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только один перпендикуляр, значит, прямые $$MF$$ и $$ME$$ совпадают. Следовательно, точки $$M, F, E$$ лежат на одной прямой, то есть
$$EF \perp AD,\qquad EF \perp BC.$$
Обратное утверждение
Пусть в трапеции $$ABCD$$, где $$AD \parallel BC$$, точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$, и прямая $$EF$$ перпендикулярна основаниям. Докажем, что $$AB=CD$$.
Рассмотрим треугольники $$BEA$$ и $$CED$$. Имеем:
$$AE=ED$$, так как $$E$$ — середина $$AD$$;
$$BE=EC$$, так как $$F$$ — середина $$BC$$ и в треугольнике $$BEC$$ отрезок $$EF$$ является высотой и медианой;
$$\angle BEA=\angle CED$$, так как это вертикальные углы.
Следовательно, $$\triangle BEA \cong \triangle CED$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AB=CD.$$
Значит, трапеция $$ABCD$$ равнобедренная.
Ответ
Прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям. Обратно: если в трапеции прямая, соединяющая середины оснований, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.
