Упр.832 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.
2. Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС, CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересечении прямых AQ, BR, СТ и DP образуется параллелограмм, и найдите отношение его площади к площади параллелограмма ABCD.

Обозначим через $$E$$ точку пересечения прямых $$AQ$$ и $$DF$$, через $$F$$ — прямых $$BR$$ и $$AQ$$, через $$G$$ — прямых $$CT$$ и $$BR$$, через $$H$$ — прямых $$DP$$ и $$CT$$.

Докажем, что $$EFGH$$ — параллелограмм.

Рассмотрим треугольники $$ABQ$$ и $$CDT$$. Так как $$P,Q,R,T$$ — середины сторон параллелограмма $$ABCD$$, то

$$AB=CD,\qquad BQ=DT=\frac12 AD,\qquad \angle B=\angle D.$$

Следовательно, $$\triangle ABQ \cong \triangle CDT$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle BQA=\angle DTC.$$

Но $$AD \parallel BC$$, значит, углы $$\angle BQA$$ и $$\angle DAQ$$ — накрест лежащие при секущей $$AQ$$, а углы $$\angle DTC$$ и $$\angle DAQ$$ — соответственные при секущей $$CT$$. Поэтому

$$AQ \parallel CT.$$

Аналогично, рассмотрим треугольники $$BCR$$ и $$DAP$$. Имеем

$$BC=DA,\qquad CR=AP=\frac12 AB,\qquad \angle C=\angle A.$$

Значит, $$\triangle BCR \cong \triangle DAP$$ по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$\angle BR C=\angle DPA.$$

Так как $$AB$$ — секущая, то из равенства соответствующих углов получаем

$$BR \parallel PQ.$$

Итак, $$AQ \parallel CT$$ и $$BR \parallel PQ$$, следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$EFGH$$ попарно параллельны. Значит, $$EFGH$$ — параллелограмм.

Найдём отношение площадей.

Пусть $$S_{ABCD}=S$$. Тогда

$$S_{AQCT}=\frac{AT}{AD}\cdot S_{ABCD}=\frac12 S,$$

так как $$AT=\frac12 AD$$.

Рассмотрим треугольники $$DHT$$ и $$DEA$$. Они подобны, поскольку $$DT \parallel DA$$, $$DH \parallel DE$$, $$TH \parallel AE$$. Причём

$$\frac{DT}{DA}=\frac12,$$

значит,

$$\frac{S_{DHT}}{S_{DEA}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14,$$

то есть

$$S_{DEA}=4S_{DHT}.$$

Тогда

$$S_{AEHT}=S_{DEA}-S_{DHT}=3S_{DHT}.$$

Площадь параллелограмма $$EFGH$$ можно выразить так:

$$S_{EFGH}=S_{AQCT}-6S_{DHT}=\frac12 S-6S_{DHT}.$$

С другой стороны, аналогично через параллелограмм $$PBRD$$ получаем

$$S_{EFGH}=S_{PBRD}-6S_{APE}=\frac12 S-6S_{APE}.$$

Следовательно,

$$S_{DHT}=S_{APE}.$$

Теперь

$$S_{APD}=S_{APE}+S_{DEA}=S_{DHT}+4S_{DHT}=5S_{DHT}.$$

Но $$S_{APD}=\frac14 S_{ABCD}=\frac14 S$$, значит

$$S_{DHT}=\frac1{20}S.$$

Тогда

$$S_{EFGH}=\frac12 S-6\cdot \frac1{20}S=\left(\frac12-\frac3{10}\right)S=\frac15 S.$$

Ответ: $$\frac{S_{EFGH}}{S_{ABCD}}=\frac15.$$