Упр.831 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
2. На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты точки $$M$$ и $$K$$, а на отрезке $$MK$$ — точка $$P$$ так, что $$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если площади треугольников $$AMP$$ и $$BKP$$ равны $$S_1$$ и $$S_2$$.

Обозначим

$$\frac{AM}{MC}=\frac{CK}{KB}=\frac{MP}{PK}=k.$$

Тогда из равенства площадей треугольников с общей высотой получаем:

$$\frac{S_{AMP}}{S_{APK}}=\frac{MP}{PK}=k,$$

значит

$$S_{APK}=\frac{S_1}{k}.$$

Следовательно,

$$S_{AMK}=S_{AMP}+S_{APK}=S_1+\frac{S_1}{k}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1.$$

Теперь рассмотрим треугольники с вершиной в точке $$K$$:

$$\frac{S_{KAM}}{S_{KMC}}=\frac{AM}{MC}=k,$$

поэтому

$$S_{KMC}=\frac{S_{KAM}}{k}=\frac{\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1}{k}=\frac{k+1}{k^2}S_1.$$

Тогда

$$S_{ACK}=S_{AKM}+S_{KMC}=\left(1+\frac{1}{k}\right)S_1+\frac{k+1}{k^2}S_1=\frac{(k+1)^2}{k^2}S_1.$$

Аналогично, из подобия треугольников с вершиной в точке $$B$$:

$$\frac{S_{AKB}}{S_{CKB}}=\frac{CK}{KB}=k,$$

откуда

$$S_{AKB}=\frac{1}{k}S_{CKB}.$$

Но

$$S_{AKB}=S_{ABC}-S_{ACK},$$

и, повторяя рассуждение для второй части, получаем

$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2.$$

С другой стороны, из вычислений для первой части имеем

$$S_{ABC}=\frac{(k+1)^3}{k}S_1.$$

Приравнивая эти выражения, получаем

$$\frac{(k+1)^3}{k}S_1=(k+1)^3S_2,$$

откуда

$$k^3=\frac{S_1}{S_2}, \qquad k=\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}.$$

Тогда площадь всего треугольника:

$$S_{ABC}=(k+1)^3S_2=\left(\sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}+1\right)^3S_2.$$

Преобразуем:

$$S_{ABC}=\left(\frac{\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}}\right)^3S_2=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$

Ответ: $$S_{ABC}=\left(\sqrt[3]{S_1}+\sqrt[3]{S_2}\right)^3.$$