Упр.830 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
- На сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ взяты соответственно точки $$M$$ и $$K$$. Отрезки $$AK$$ и $$BM$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите площадь треугольника $$CMK$$, если площади треугольников $$OMA$$, $$OAB$$ и $$OBK$$ равны соответственно $$S_1$$, $$S_2$$, $$S_3$$.
Пусть $$S_{AMK}=x.$$ Тогда площадь всего треугольника $$ABC$$ равна
$$S_{ABC}=S_1+S_2+S_3+x.$$
Рассмотрим треугольники $$OAM$$ и $$OAB$$. У них общая высота, опущенная из точки $$A$$ на прямую $$BM$$, поэтому
$$\frac{S_{OAM}}{S_{OAB}}=\frac{OM}{OB}.$$
Аналогично для треугольников $$OBK$$ и $$OAM$$ получаем
$$\frac{S_{OBK}}{S_{OAM}}=\frac{OK}{OA}.$$
Из подобия соответствующих треугольников в данной конфигурации получаем соотношение
$$S_4=\frac{S_1S_3}{S_2},$$
где $$S_4=S_{MOK}.$$
Теперь запишем площадь треугольника $$ABC$$ как сумму площадей четырёх треугольников:
$$S_{ABC}=S_1+S_2+S_3+S_4+x.$$
С другой стороны, из отношений площадей треугольников с общими высотами имеем
$$\frac{S_1+S_4}{S_1+S_2}=\frac{MC}{BE}=\frac{x}{S_{ABC}-(S_1+S_2)}=\frac{x}{S_3+S_4+x}.$$
Подставляя $$S_4=\dfrac{S_1S_3}{S_2}$$, получаем уравнение относительно $$x$$:
$$\left(S_1+\frac{S_1S_3}{S_2}\right)\left(S_3+\frac{S_1S_3}{S_2}+x\right)=(S_1+S_2)x.$$
Решая его, находим
$$x=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}.$$
Следовательно,
$$S_{CMK}=\frac{S_1S_3(S_1+S_2)(S_2+S_3)}{S_2\left(S_2^2-S_1S_3\right)}.$$
