Упр.83 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N — середины отрезков АВ и АС. Докажите, что BC = 2MN. Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Пусть $$BM=a$$, $$NC=b$$. Тогда из того, что $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, получаем $$AM=MB=a$$, значит

$$AB=AM+MB=2a.$$

Аналогично, так как $$N$$ — середина отрезка $$AC$$, имеем $$AN=NC=b$$, следовательно

$$AC=AN+NC=2b.$$

Тогда

$$BC=BA+AC=2a+2b=2(a+b).$$

С другой стороны,

$$MN=MA+AN=a+b.$$

Значит,

$$BC=2MN.$$

Найдём угол, образованный биссектрисами двух смежных углов. Пусть эти смежные углы равны $$\alpha$$ и $$\beta$$. Тогда

$$\alpha+\beta=180^\circ.$$

Биссектрисы делят их пополам, поэтому угол между биссектрисами равен

$$\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Ответ

$$BC=2MN,$$ угол между биссектрисами смежных углов равен $$90^\circ$$.