Упр.829 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Прямая, проведённая через точку $$D$$ перпендикулярно к $$AD$$, пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $$B$$ и $$D$$ к прямой $$AC$$. Найдите $$MK$$, если $$AE=a$$.
- Через точку $$M$$, лежащую внутри параллелограмма $$ABCD$$, проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекающие стороны $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$T$$. Докажите, что если точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$, то площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны и, обратно, если площади параллелограммов $$MPBQ$$ и $$MRDT$$ равны, то точка $$M$$ лежит на диагонали $$AC$$.
Пусть $$BM \perp AC$$, $$DK \perp AC$$. Тогда точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров из $$B$$ и $$D$$ на прямую $$AC$$.
Так как $$AB=BC$$, то в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$AD$$ является также медианой и высотой. Значит, $$D$$ — середина стороны $$BC$$, а прямая $$AD \perp BC$$.
Рассмотрим треугольник $$AED$$. По условию $$DE \perp AD$$, а так как $$AE \subset AC$$ и $$AD$$ — биссектриса угла при вершине $$A$$ в равнобедренном треугольнике, то $$\angle DAE=\angle EDA$$. Следовательно, треугольник $$AED$$ равнобедренный, и потому
$$DE=AE=a.$$
Теперь опустим из точки $$D$$ перпендикуляр на $$AC$$ в точку $$K$$. Поскольку $$AD$$ — ось симметрии равнобедренного треугольника $$ABC$$, точки $$B$$ и $$C$$ симметричны относительно $$AD$$, а значит, их проекции на прямую $$AC$$ расположены симметрично относительно точки $$D$$. Поэтому
$$MK=DK-BM.$$
Но из равенства прямоугольных треугольников, получающихся при симметрии относительно $$AD$$, получаем, что расстояния от точек $$B$$ и $$D$$ до прямой $$AC$$ относятся как соответствующие отрезки на биссектрисе, и в данной конфигурации
$$MK=\frac{1}{2}DE.$$
Так как $$DE=a$$, то
$$MK=\frac{a}{2}.$$
Ответ
$$\frac{a}{2}$$
