Упр.828 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Докажем сначала первое утверждение.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$ и прямую $$AC$$. Возможны два случая.

1. Четырёхугольник выпуклый. Тогда точки $$B$$ и $$D$$ лежат по разные стороны от прямой $$AC$$, так как вершины выпуклого четырёхугольника расположены по разные стороны от любой его диагонали.

2. Четырёхугольник невыпуклый. Тогда одна из вершин, например $$C$$, лежит внутри угла $$BAD$$. Проведём через точку $$C$$ прямую, параллельную $$AD$$, и обозначим через $$E$$ точку её пересечения с прямой $$AB$$. Тогда точка $$C$$ лежит внутри угла $$BAE$$, а значит, точки $$B$$ и $$D$$ находятся по разные стороны от прямой $$AC$$.

Следовательно, в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Теперь докажем утверждения о треугольнике.

а) Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$MN$$. Ось симметрии переводит фигуру саму в себя, значит, она не может пересекать сторону треугольника в её внутренней точке и не может проходить через две стороны сразу. Поэтому $$MN$$ проходит через одну из вершин треугольника и пересекает противоположную сторону.

Пусть $$MN$$ проходит через вершину $$B$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$O$$. Так как $$MN$$ — ось симметрии, то она является серединным перпендикуляром к отрезку $$AC$$. Значит, $$AO=OC$$ и $$BO \perp AC$$.

Следовательно, прямая $$BO$$ является и медианой, и высотой треугольника $$ABC$$. Значит, $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

б) Если у треугольника есть более одной оси симметрии, то по пункту а) он равнобедренный. Пусть оси симметрии — $$AD$$ и $$BE$$. Тогда

$$AD$$ — серединный перпендикуляр к одной стороне, а $$BE$$ — серединный перпендикуляр к другой стороне.

Из этого получаем равенства сторон треугольника:

$$AB=AC,$$

$$AB=BC.$$

Значит, $$AB=BC=AC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний.

У равностороннего треугольника все три оси симметрии проходят через вершину и середину противоположной стороны, поэтому больше трёх осей симметрии быть не может.

Ответ

В любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины. Если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный; если осей симметрии больше одной, то треугольник равносторонний.