Упр.828 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
2. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$MN$$.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Ось $$MN$$ проходит через одну вершину треугольника, например через вершину $$B$$, и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$O$$.

   При симметрии относительно прямой $$MN$$ точки $$A$$ и $$C$$ переходят друг в друга, значит, $$O$$ — середина отрезка $$AC$$ и $$MN \perp AC$$. Тогда прямая $$BO$$ является и медианой, и высотой треугольника $$ABC$$.

   Следовательно, $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

2. Ось $$MN$$ не проходит через вершину и не совпадает со стороной треугольника. Тогда при отражении относительно $$MN$$ треугольник должен перейти сам в себя, а значит, ось симметрии обязана проходить через вершину и пересекать противоположную сторону. Это сводится к предыдущему случаю.

Итак, если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный.

Теперь предположим, что у треугольника есть более одной оси симметрии. Тогда каждая ось симметрии проходит через вершину треугольника. Если бы две оси проходили через разные вершины, то треугольник был бы равнобедренным относительно каждой из них, а значит, все его стороны были бы равны:

$$AB=BC,\quad BC=CA \Rightarrow AB=BC=CA.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равносторонний.

У равностороннего треугольника все три медианы, высоты и биссектрисы совпадают, поэтому он имеет три оси симметрии.

Ответ: а) треугольник равнобедренный; б) треугольник равносторонний.