Упр.827 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.
2. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали.

Пусть дана произвольная прямая $$f$$. На ней отметим точку $$A$$ и отложим на этой прямой отрезок $$AD=a$$. Затем на той же прямой отложим от точки $$D$$ отрезок $$DI=b$$.

Построим окружность с центром в точке $$A$$ радиуса $$d$$ и окружность с центром в точке $$I$$ радиуса $$d$$. Тогда их радиусы равны диагоналям искомой трапеции.

Точку $$C$$ возьмём в верхней точке пересечения этих окружностей. Через точку $$D$$ проведём прямую, параллельную $$CI$$, а через точку $$A$$ — прямую, параллельную $$CD$$. Обозначим точку их пересечения через $$B$$.

Получили четырёхугольник $$ABCD$$. По построению

$$AD \parallel BC,$$

$$AB=CD,$$

$$AD=a,\quad BC=b,\quad AC=BD=d.$$

Следовательно, $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция с основаниями $$AD$$ и $$BC$$, а диагонали равны заданной длине $$d$$.

Ответ: построение выполнено.