Упр.826 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
2. Задание учебника 2023 года. На сторонах треугольника $$ABC$$ во внешнюю сторону построены квадраты $$BCDE$$, $$АСТМ$$, $$ВАНК$$, а затем параллелограммы $$TCDQ$$ и $$ЕВКР$$. Докажите, что треугольник $$APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.

Обозначим $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta.$$

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$QCD.$$ В них

$$AC=TC=QD=b,$$
$$BC=CD=a,$$
$$\angle EDQ=\angle BCT+90^\circ,$$ значит $$\angle CDQ=\angle C.$$

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle ABC=\triangle QCD.$$

Отсюда

$$CQ=c,$$

а также

$$\angle ACQ=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$PEB.$$ Имеем

$$AB=KB=PE=c,$$
$$BC=EB=a,$$
$$\angle PEB=180^\circ-\angle KBE=180^\circ-(360^\circ-290^\circ-\angle B)=\angle B.$$

Значит, по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle ABC=\triangle PEB,$$

откуда

$$PB=b,$$

и

$$\angle PBA=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$

Сравним треугольники $$PBA$$ и $$ACQ.$$ Так как

$$\angle PBA=\angle ACQ=90^\circ+\alpha,$$
$$BA=CQ=c,$$
$$PB=AC=b,$$

то по первому признаку равенства треугольников

$$\triangle PBA=\triangle ACQ.$$

Следовательно,

$$PA=AQ,$$

то есть $$\triangle APQ$$ равнобедренный с основанием $$PQ.$$

Кроме того,

$$\angle PBA=\angle CAQ=\gamma,$$
$$\angle BAP=\angle CQA=\beta.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\gamma+\delta+(90^\circ+\alpha)=180^\circ,$$
$$\gamma+\delta+\alpha=90^\circ.$$

Тогда угол при вершине $$A$$ треугольника $$APQ$$ равен

$$\angle PAQ=\angle BAP+\angle A+\angle CAQ=\delta+\alpha+\gamma=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.

Ответ

$$\triangle APQ$$ прямоугольный и равнобедренный.