Упр.825 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Положительные числа $$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$$ и $$a_6$$ удовлетворяют условиям $$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$$. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны, причём $$A_1A_2=a_1$$, $$A_2A_3=a_2$$, $$A_3A_4=a_3$$, $$A_4A_5=a_4$$, $$A_5A_6=a_5$$ и $$A_6A_1=a_6$$.
2. Внутри квадрата $$ABCD$$ взята такая точка $$M$$, что угол $$MAB=60^\circ$$, угол $$MCD=15^\circ$$. Найдите угол $$MBC$$.

Обозначим сторону квадрата через $$a.$$

Рассмотрим треугольник $$AMD.$$

Так как $$\angle MAB=60^\circ$$ и $$\angle DAB=90^\circ,$$ то

$$\angle MAD=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Аналогично, из $$\angle MCD=15^\circ$$ и $$\angle CDA=90^\circ$$ получаем

$$\angle MDA=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Тогда

$$\angle AMD=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ.$$

Следовательно, $$\angle AMD=\angle MDA,$$ значит, треугольник $$AMD$$ равнобедренный, и потому

$$AM=AD=a.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABM.$$ В нём

$$AB=AD=a,\qquad AM=a,$$

то есть $$AB=AM.$$ Кроме того,

$$\angle BAM=\angle MAB=60^\circ.$$

Значит, треугольник $$ABM$$ равносторонний, поэтому

$$\angle ABM=60^\circ.$$

Тогда искомый угол

$$\angle MBC=90^\circ-\angle ABM=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.