Упр.824 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Дан выпуклый шестиугольник $$А_1А_2А_3А_4А_5А_6$$, все углы которого равны. Докажите, что $$А_1А_2-А_4А_5=А_5А_6-А_2А_3=А_3А_4-А_6А_1$$.
- На рисунке 268 изображены три квадрата. Найдите сумму $$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE$$.
Так как диагональ квадрата является биссектрисой его угла, то
$$\angle BAE=\angle BAF=45^\circ.$$
Достроим чертёж, как показано на рисунке, добавив ещё несколько квадратов. Тогда получим равнобедренный треугольник $$KAC$$ с основанием $$KC$$, в котором $$AH$$ является высотой, биссектрисой и медианой. Следовательно,
$$\angle CAE=\angle CAH=\angle KAH,$$
а также
$$\angle KAD=\angle CAE+\angle DAE.$$
Треугольник $$AKS$$ также равнобедренный; при этом $$\angle AKS=90^\circ$$. Его углы при основании равны:
$$\angle SAK=\angle ASK=45^\circ=\angle BAE.$$
Получаем:
$$\angle SAD=\angle SAK+\angle KAH+\angle EAD=\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE.$$
Так как $$\angle TAE=90^\circ$$, а в треугольнике $$TAS$$ имеем $$\angle TAS=\angle EAD$$, то
$$\angle SAD=\angle TAE+\angle EAD-\angle TAS=90^\circ.$$
Следовательно,
$$\angle BAE+\angle CAE+\angle DAE=90^\circ.$$
Ответ: $$90^\circ$$.
