Упр.823 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$, содержащие высоты остроугольного треугольника $$ABC$$, пересекают описанную окружность в точках $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$. Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы треугольника $$A_1B_1C_1$$.
2. На стороне $$CD$$ квадрата $$ABCD$$ отмечена точка $$M$$. Биссектриса угла $$BAM$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Докажите, что $$AM = BK + DM$$.

Обозначим $$\angle BAK=\angle KAM=a.$$ Тогда $$\angle BAM=2a.$$

Так как $$AB \parallel CD,$$ то прямая $$AM$$ — секущая, и накрест лежащие углы равны:

$$\angle BAM=\angle AMD=2a.$$

Построим биссектрису угла $$\angle AMD,$$ а затем опустим на неё перпендикуляр. Пусть он пересекает $$AM$$ в точке $$E,$$ а прямую $$CD$$ — в точке $$F.$$ Тогда

$$AE \perp ME,$$

$$\angle AME=\angle FME=a,$$

$$F \in CD.$$

В треугольнике $$AMF$$ отрезок $$ME$$ является и биссектрисой, и высотой, значит, треугольник $$AMF$$ равнобедренный, поэтому

$$AM=FM.$$

Кроме того,

$$\angle MAE=\angle MFE=90^\circ-a.$$

Рассмотрим треугольники $$BKA$$ и $$DFA.$$ Имеем:

$$\angle KBA=\angle FDA=90^\circ,$$

$$AB=AD,$$

$$\angle BAK=\angle DAF=a.$$

Следовательно, треугольники $$BKA$$ и $$DFA$$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда

$$BK=DF.$$

Так как $$F$$ лежит на стороне $$CD,$$ то

$$FM=FD+DM.$$

Тогда

$$AM=FM=FD+DM=BK+DM.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AM=BK+DM.$$