Упр.822 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Около треугольника $$ABC$$ описана окружность. Биссектрисы его углов $$A$$, $$B$$ и $$C$$ пересекают эту окружность в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ содержат высоты треугольника $$A_1B_1C_1$$.
На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ — центр описанной около треугольника $$ABC$$ окружности. Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ точки пересечения этой окружности с биссектрисами углов $$A,\;B,\;C$$ соответственно.

Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то дуга $$AC_1$$ вдвое больше угла $$AC_1B$$, а именно

$$\overset{\frown}{AC_1}=2\angle ACC_1=\angle ACB.$$

Аналогично

$$\overset{\frown}{CB_1}=2\angle CBB_1=\angle ABC,$$

$$\overset{\frown}{CA_1}=2\angle CAA_1=\angle BAC.$$

Рассмотрим угол между прямыми $$AA_1$$ и $$B_1C_1$$. Он равен половине суммы соответствующих дуг:

$$\angle(AA_1,\;B_1C_1) =\frac{\overset{\frown}{AC_1}+\overset{\frown}{CB_1}+\overset{\frown}{CA_1}}{2}.$$

Подставим найденные дуги:

$$\angle(AA_1,\;B_1C_1) =\frac{\angle ACB+\angle ABC+\angle BAC}{2} =\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Значит, $$AA_1 \perp B_1C_1$$, то есть прямая $$AA_1$$ содержит высоту треугольника $$A_1B_1C_1$$.

Аналогично получаем:

$$BB_1 \perp A_1C_1,$$