Упр.821 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. В окружность вписан четырёхугольник $$ABCD$$. Точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$D_1$$ являются серединами дуг $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$. Докажите, что прямые $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ перпендикулярны.
2. Задание учебника 2023 года. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат.

Так как точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$, $$D_1$$ — середины дуг $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$, $$DA$$, то

$$\overset{\frown}{A_1B_1}=\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}\bigr),$$
$$\overset{\frown}{B_1D_1}=\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}\bigr).$$

Сложим эти дуги:

$$\overset{\frown}{A_1B_1}+\overset{\frown}{B_1D_1} =\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DA}\bigr) =\frac{1}{2}\cdot 360^\circ=180^\circ.$$

Угол между хордами $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ равен половине суммы перехватываемых ими дуг, значит

$$\angle(A_1B_1,\;B_1D_1)=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Следовательно, $$A_1B_1 \perp B_1D_1$$.