Упр.821 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 821. В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки A_1, B_1, C_1, D_1 являются серединами дуг АВ, ВС, CD, DA. Докажите, что прямые A_1B_1 и B_1D_1 перпендикулярны. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник — квадрат

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ центр окружности. Так как $$A_1, B_1, C_1, D_1$$ — середины дуг $$AB, BC, CD, DA$$, то

$$\overset{\frown}{A_1B_1}=\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}\bigr),$$

$$\overset{\frown}{B_1D_1}=\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}\bigr).$$

Сложим эти дуги:

$$\overset{\frown}{A_1B_1}+\overset{\frown}{B_1D_1}=\frac{1}{2}\bigl(\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BC}+\overset{\frown}{CD}+\overset{\frown}{DA}\bigr).$$

Но сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$, значит

$$\overset{\frown}{A_1B_1}+\overset{\frown}{B_1D_1}=\frac{360^\circ}{2}=180^\circ.$$

Угол между хордами $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ равен половине суммы соответствующих дуг, поэтому

$$\angle(A_1B_1,\;B_1D_1)=\frac{180^\circ}{2}=90^\circ.$$

Следовательно, прямые $$A_1B_1$$ и $$B_1D_1$$ перпендикулярны.