Упр.820 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.
2. Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Пусть в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$, а $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$ соответственно. Докажем, что $$EF \perp AD$$ и $$EF \perp BC$$.

Продолжим боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ до пересечения в точке $$M$$.

Так как $$ABCD$$ — равнобедренная трапеция, то $$\angle A = \angle D$$. Следовательно, треугольники $$MBC$$ и $$MAD$$ равнобедренные, поэтому $$MB = MC$$ и $$MA = MD$$.

Рассмотрим треугольник $$MBC$$. Точка $$F$$ — середина стороны $$BC$$, значит, $$BF = FC$$, то есть $$MF$$ — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, значит, $$MF \perp BC$$.

Аналогично, в треугольнике $$MAD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$AD$$, поэтому $$AE = ED$$ и $$ME$$ — медиана. Тогда $$ME \perp AD$$.

Так как $$AD \parallel BC$$, то прямая, перпендикулярная $$AD$$, перпендикулярна и $$BC$$. Следовательно, $$ME \perp BC$$. Через точку $$M$$ к прямой $$BC$$ можно провести только один перпендикуляр, значит, $$F$$ лежит на прямой $$ME$$.

Итак, точки $$E$$, $$F$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, а эта прямая перпендикулярна основаниям трапеции. Значит, $$EF \perp AD$$ и $$EF \perp BC$$.

Обратное утверждение: если в трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям, то трапеция равнобедренная.

Докажем это. Пусть в трапеции $$ABCD$$ точки $$E$$ и $$F$$ — середины оснований $$AD$$ и $$BC$$, причём $$EF \perp AD$$. Тогда $$EF \perp BC$$, так как $$AD \parallel BC$$.

Рассмотрим треугольники $$BEF$$ и $$CED$$. Имеем:

$$BF = FC$$, $$AE = ED$$, $$\angle BEF = \angle CEF = 90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle BEA = \angle CED$$ как вертикальные углы.

Тогда треугольники $$BEA$$ и $$CED$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$AE = ED,$$
$$BE = CE,$$
$$\angle BEA = \angle CED.$$

Следовательно, $$AB = CD$$, то есть трапеция равнобедренная.