Упр.819 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности с центром $$O$$. Докажите, что $$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOB=\angle COD$$.
2. Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$, описанный около окружности с центром $$O$$. Обозначим

$$\angle ABO=\angle CBO=a,\qquad \angle BCO=\angle DCO=b,$$

$$\angle BAO=\angle DAO=c,\qquad \angle ADO=\angle CDO=d.$$

Так как в каждом из треугольников $$AOD$$, $$BOC$$, $$AOB$$ и $$COD$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, получаем:

$$\angle AOD=180^\circ-c-d,$$
$$\angle BOC=180^\circ-a-b,$$
$$\angle AOB=180^\circ-a-c,$$
$$\angle COD=180^\circ-b-d.$$

Сложим соответствующие углы:

$$\angle AOD+\angle BOC =(180^\circ-c-d)+(180^\circ-a-b) =360^\circ-(a+b+c+d),$$
$$\angle AOB+\angle COD =(180^\circ-a-c)+(180^\circ-b-d) =360^\circ-(a+b+c+d).$$

Следовательно,

$$\angle AOD+\angle BOC=\angle AOB+\angle COD.$$

Что и требовалось доказать.