Упр.818 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
2. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Обозначим данные параллельные прямые через $$a$$ и $$b$$, а данную точку — через $$A$$.

Пусть окружность касается прямых $$a$$ и $$b$$ в точках $$E$$ и $$M$$ соответственно. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным, значит

$$OE \perp a,\qquad OM \perp b.$$

Так как $$a \parallel b$$, то перпендикуляры к ним параллельны, следовательно, точки $$E$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, перпендикулярной данным прямым. Обозначим эту прямую через $$l$$.

Построим середину отрезка $$EM$$ и проведём к нему серединный перпендикуляр. Любая точка этого перпендикуляра равноудалена от $$E$$ и $$M$$. Центр искомой окружности должен быть равноудалён от точек касания, значит он лежит на серединном перпендикуляре к $$EM$$.

Кроме того, искомая окружность проходит через точку $$A$$, поэтому её центр равноудалён от $$A$$ и от точки касания $$E$$. Значит, центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AE$$.

Таким образом, центр искомой окружности — это точка пересечения двух серединных перпендикуляров: к отрезку $$EM$$ и к отрезку $$AE$$.

После нахождения центра $$O$$ строим окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$. Она проходит через точку $$A$$ и касается обеих данных параллельных прямых, так как расстояния от центра до этих прямых равны радиусу.

Построение:

1. Провести прямую $$l$$, перпендикулярную данным параллельным прямым.
2. Обозначить точки пересечения $$l$$ с прямыми $$a$$ и $$b$$ через $$E$$ и $$M$$.
3. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $$EM$$.
4. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $$AE$$.
5. Точку пересечения этих перпендикуляров обозначить через $$O$$.
6. Провести окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$.

Полученная окружность и есть искомая.