Упр.817 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны прямая \(a\), точка \(A\), лежащая на этой прямой, и точка \(B\), не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку \(B\) и касающуюся прямой \(a\) в точке \(A\).
- Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше периметра, но больше половины периметра.
Пусть требуется построить окружность, проходящую через точку $$B$$ и касающуюся прямой $$a$$ в точке $$A$$.
Центр такой окружности должен лежать на перпендикуляре к прямой $$a$$, проведённом через точку касания $$A$$, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Кроме того, центр окружности должен быть равноудалён от точек $$A$$ и $$B$$, значит, он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$.
Построим:
- серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$;
- перпендикуляр к прямой $$a$$, проходящий через точку $$A$$;
- обозначим точку их пересечения через $$O$$.
Тогда $$OA=OB$$, а также $$OA \perp a$$. Следовательно, окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OA$$ проходит через точку $$B$$ и касается прямой $$a$$ в точке $$A$$.
Ответ: искомая окружность — окружность с центром в точке пересечения серединного перпендикуляра к $$AB$$ и перпендикуляра к прямой $$a$$, проведённого через $$A$$, радиус $$OA$$.
