Упр.816 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$ можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
- В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ с основанием $$AC$$ проведена биссектриса $$AD$$. Прямая, проведённая через точку $$D$$ перпендикулярно к $$AD$$, пересекает прямую $$AC$$ в точке $$E$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — основания перпендикуляров, проведённых из точек $$B$$ и $$D$$ к прямой $$AC$$. Найдите $$MK$$, если $$AE=a$$.
Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AB=BC$$, $$AD$$ — биссектриса, $$DE\perp AD$$, $$DK\perp AC$$, $$BM\perp AC$$, $$AE=a$$.
Рассмотрим точку $$F$$ на стороне $$AB$$ так, что $$DE=DF$$. Тогда $$\triangle FAE$$ — равнобедренный, а поскольку $$AD$$ — биссектриса угла при вершине $$A$$, то в равнобедренном треугольнике $$FAE$$ прямая $$AD$$ является и высотой, и медианой. Значит, $$AF=AE=a$$, а потому $$FD=DE=\dfrac12\,FE$$.
Проведём через точку $$D$$ прямую $$GD\parallel AC$$, где $$G\in AB$$. Тогда $$\triangle FGD \sim \triangle FAE$$, откуда
$$\frac{GD}{AE}=\frac{FD}{FE}=\frac12,$$
следовательно,
$$GD=\frac12\,AE=\frac a2.$$
Так как $$GD\parallel AC$$, то $$\triangle GBD \sim \triangle ABC$$. Поскольку $$AB=BC$$, получаем $$GB=GD$$, значит, $$\triangle GBD$$ равнобедренный с основанием $$GD$$.
Обозначим через $$H$$ точку пересечения $$GD$$ и $$BM$$. Так как $$BM\perp AC$$ и $$GD\parallel AC$$, то $$BH\perp GD$$. В равнобедренном треугольнике $$GBD$$ высота $$BH$$ является также медианой, поэтому
$$GH=HD=\frac12\,GD=\frac14\,a.$$
Рассмотрим четырёхугольник $$MHDK$$. Имеем $$HM\perp AC$$ и $$DK\perp AC$$, значит, $$HM\parallel DK$$. Кроме того, $$HD\parallel MK$$, так как $$HD\subset GD$$ и $$GD\parallel AC$$, а точки $$M,K$$ лежат на прямой $$AC$$. Следовательно, $$MHDK$$ — параллелограмм, поэтому
$$MK=HD=\frac14\,a.$$
Ответ: $$MK=\dfrac a4$$.
