Упр.815 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.
2. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

Пусть в параллелограмм $$ABCD$$ можно вписать окружность и можно описать около него окружность.

Так как в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$. Тогда

$$AB+AB=BC+BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Теперь рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$, около которого можно описать окружность. Тогда сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, значит

$$\angle A=\angle C.$$

Следовательно,

$$2\angle A=180^\circ,$$

откуда

$$\angle A=90^\circ.$$

Значит, все углы параллелограмма прямые, а соседние стороны равны. Следовательно, $$ABCD$$ — квадрат.

Ответ

$$ABCD$$ — квадрат.