Упр.814 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен $$10\ \text{см}$$.
2. Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Так как треугольник $$ABC$$ равносторонний, то центр вписанной и описанной окружностей у него совпадает. Обозначим этот центр через $$O$$.

Проведём высоту $$BH$$. В равностороннем треугольнике она является также медианой и биссектрисой, поэтому $$\angle HBO=30^\circ$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BFO$$, где $$OF=r$$ — радиус вписанной окружности, а $$OB=R=10$$ см — радиус описанной окружности. Тогда

$$r=OF=OB\cdot \sin 30^\circ=10\cdot \frac{1}{2}=5$$

Ответ: $$5$$ см.