Упр.814 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см. Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.

Подробный ответ

1) В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности, центр описанной окружности и точка пересечения медиан совпадают. Пусть $$O$$ — общий центр окружностей, $$R=10$$ см — радиус описанной окружности, $$r$$ — радиус вписанной.

Проведём высоту $$BH$$ равностороннего треугольника $$ABC$$. Тогда она является и медианой, и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике $$BFO$$ угол $$\angle FBO=30^\circ$$, а $$FO=r$$.

Так как $$BO=R=10$$ см, то

$$r=FO=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}\cdot 10=5\text{ см}.$$

2) Пусть $$ABCD$$ — выпуклый четырёхугольник. Тогда точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от прямой $$AB$$, а точки $$B$$ и $$C$$ — по одну сторону от прямой $$AD$$.

Рассмотрим диагональ $$AC$$. Так как точка $$C$$ лежит внутри угла $$BAD$$, то луч $$AC$$ проходит внутри этого угла и пересекает отрезок $$BD$$ в некоторой точке $$M$$.

Аналогично, диагональ $$BD$$ пересекает отрезок $$AC$$ в той же точке $$M$$. Значит, диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются.