Упр.812 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность. Положительные числа а1, а2, а3, а4, а5 и а6 удовлетворяют условиям а1-а4 = а5 — а2 = a3-a6. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник A1A2A3A4A5A6, все углы которого равны, причём А1А2 = а1, А2А3 = а2, А3А4= а3, А4А5 = а4, A5A6 =a5 и А6А1 = а6.

Пусть $$\angle A_1=\angle A_2=\angle A_3=\angle A_4=\angle A_5=\angle A_6=x.$$

Тогда в треугольнике $$A_1A_2A_3$$ имеем

$$\angle A_1+\angle A_2+\angle A_3=180^\circ,$$

то есть

$$3x=180^\circ,\qquad x=60^\circ.$$

Значит, все углы шестиугольника равны $$60^\circ$$.

Теперь рассмотрим стороны. По условию

$$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6.$$

Отсюда

$$a_1-a_4=a_3-a_6,$$

то есть

$$a_1+a_6=a_3+a_4.$$

А также из равенства $$a_5-a_2=a_3-a_6$$ получаем

$$a_2+a_3=a_5+a_6.$$

Тогда

$$A_1A_2+A_3A_4=A_5A_6+A_4A_5,$$

и аналогично для остальных пар сторон. Следовательно, можно последовательно отложить стороны $$A_1A_2=a_1,\ A_2A_3=a_2,\ A_3A_4=a_3,\ A_4A_5=a_4,\ A_5A_6=a_5,\ A_6A_1=a_6$$ так, чтобы все внутренние углы были равны $$60^\circ$$.

Так как сумма углов выпуклого шестиугольника равна $$720^\circ$$, а каждый угол равен $$120^\circ$$, получаем выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$ с равными углами.

Следовательно, такой выпуклый шестиугольник существует.

Ответ

Существует выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, у которого все углы равны, а стороны равны $$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5,\ a_6$$ соответственно.