Упр.812 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.
- Положительные числа $$a_1$$, $$a_2$$, $$a_3$$, $$a_4$$, $$a_5$$ и $$a_6$$ удовлетворяют условиям $$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6$$. Докажите, что существует выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны, причём $$A_1A_2=a_1$$, $$A_2A_3=a_2$$, $$A_3A_4=a_3$$, $$A_4A_5=a_4$$, $$A_5A_6=a_5$$ и $$A_6A_1=a_6$$.
Пусть биссектрисы углов трапеции пересекаются в точках $$A,\;B,\;C,\;D$$ так, что получен четырёхугольник $$ABCD$$.
Так как $$MEFN$$ — трапеция, то $$EF \parallel MN$$. Следовательно, односторонние углы при секущей дополняют друг друга до $$180^\circ$$.
Обозначим через $$\angle 1=\angle 2=x$$ и $$\angle 3=\angle 4=y$$. Тогда
$$2x+2y=180^\circ,$$
откуда
$$x+y=90^\circ.$$
Значит,
$$\angle MAE=\angle 1+\angle 3=x+y=90^\circ.$$
Аналогично получаем
$$\angle NCD=90^\circ.$$
Теперь рассмотрим четырёхугольник $$ABCD$$. По теореме о сумме углов треугольника
$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.$$
Кроме того, из предыдущего пункта следует, что
$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$
Тогда
$$\angle B+\angle D=360^\circ-180^\circ=180^\circ.$$
Итак, сумма противоположных углов четырёхугольника $$ABCD$$ равна $$180^\circ$$, значит, около него можно описать окружность.
Ответ: около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.
