Упр.811 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через точки $$A$$ и $$B$$ проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла $$AOB$$ и пересекающиеся в точке $$C$$ внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника $$ACBO$$ можно описать окружность.
2. Дан выпуклый шестиугольник $$A_1A_2A_3A_4A_5A_6$$, все углы которого равны. Докажите, что $$A_1A_2-A_4A_5=A_5A_6-A_2A_3=A_3A_4-A_6A_1$$.

Пусть $$A_1A_2=a_1,\; A_2A_3=a_2,\; A_3A_4=a_3,\; A_4A_5=a_4,\; A_5A_6=a_5,\; A_6A_1=a_6.$$

Продолжим стороны $$A_1A_6,\; A_2A_3,\; A_4A_5$$ и получим треугольник $$B_1B_2B_3.$$

Так как шестиугольник выпуклый и все его углы равны, то каждый внутренний угол равен

$$\alpha=\frac{180^\circ\cdot(6-2)}{6}=120^\circ.$$

Следовательно, смежные с ними углы равны $$60^\circ$$. Значит, треугольники $$\triangle B_3A_6A_5,\; \triangle B_1A_1A_2,\; \triangle B_2A_4A_3$$ — равносторонние. Поэтому

$$B_1B_2=B_2B_3=B_1B_3,$$

а значит,

$$a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6.$$

Из равенства $$a_1+a_2=a_3+a_4$$ получаем

$$a_1-a_4=a_3-a_2.$$

Из равенства $$a_3+a_4=a_5+a_6$$ получаем

$$a_3-a_6=a_5-a_4.$$

Из равенства $$a_5+a_6=a_1+a_2$$ получаем

$$a_5-a_2=a_1-a_6.$$

Следовательно,

$$a_1-a_4=a_5-a_2=a_3-a_6.$$

То есть

$$A_1A_2-A_4A_5=A_5A_6-A_2A_3=A_3A_4-A_6A_1.$$