Упр.810 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.
- Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено $$\angle A+\angle C=180^\circ.$$ Докажем, что около него можно описать окружность.
Проведём окружность через три точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Докажем, что точка $$C$$ тоже лежит на этой окружности.
Предположим противное: точка $$C$$ не лежит на окружности. Тогда она может находиться либо внутри круга, либо вне его.
Если $$C$$ лежит внутри круга, то угол $$\angle C$$, опирающийся на хорду $$BD$$, меньше вписанного угла $$\angle BAD$$, то есть
$$\angle C<\angle BAD=\angle A.$$
Тогда
$$\angle A+\angle C<2\angle A.$$
Но для вписанного четырёхугольника сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, а по условию $$\angle A+\angle C=180^\circ$$. Получаем противоречие.
Если же $$C$$ лежит вне круга, то угол $$\angle C$$, опирающийся на хорду $$BD$$, больше угла $$\angle BAD$$, то есть
$$\angle C>\angle A.$$
Тогда снова невозможно, чтобы $$\angle A+\angle C=180^\circ$$, так как сумма двух углов, один из которых больше $$\angle A$$, не может совпадать с суммой противоположных углов вписанного четырёхугольника.
Следовательно, предположение неверно, и точка $$C$$ лежит на окружности, проходящей через $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Значит, все четыре вершины четырёхугольника лежат на одной окружности, то есть около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.
Ответ
Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность.
