Упр.810 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность. Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Пусть в четырёхугольнике $$ABCD$$ сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$, то есть

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Проведём окружность через три вершины $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Докажем, что точка $$C$$ тоже лежит на этой окружности.

Предположим противное: точка $$C$$ не лежит на окружности. Тогда она находится либо внутри круга, либо вне его.

Если $$C$$ лежит внутри круга, то угол $$\angle C$$ больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, а значит

$$\angle C>\angle A.$$

Тогда

$$\angle A+\angle C>180^\circ,$$

что противоречит условию.

Если же $$C$$ лежит вне круга, то аналогично получаем

$$\angle C<\angle A,$$

и снова невозможно равенство $$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

Следовательно, точка $$C$$ лежит на окружности, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$D$$. Значит, около четырёхугольника $$ABCD$$ можно описать окружность.

Теперь докажем второе утверждение.

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$MN$$ — её средняя линия, а $$O$$ — точка пересечения биссектрис углов, прилежащих к боковой стороне. Проведём из точки $$O$$ перпендикуляры к основаниям трапеции: $$OF \perp BC$$, $$OH \perp AD$$. Тогда, так как точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон, имеем

$$OF=OE,\qquad OE=OH.$$

Следовательно,

$$OF=OH.$$

Но средняя линия трапеции равноудалена от её оснований, значит все точки прямой $$MN$$ находятся на одинаковом расстоянии от прямых $$BC$$ и $$AD$$. Поэтому точка $$O$$, равноудалённая от этих оснований, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Ответ

Около четырёхугольника можно описать окружность. Вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.