Упр.809 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Если около ромба можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180°,так как у ромба противоположные углы равны, то каждый из его углов равен 90°,значит такой ромб является квадратом по определению, что и требовалось доказать.
Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите её среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боковая сторона трапеции равны а.

Если около ромба можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна $$180^\circ$$. В ромбе противоположные углы равны, значит каждый из них равен $$90^\circ$$. Следовательно, все углы ромба прямые, а значит, этот ромб является квадратом.

Ответ: ромб является квадратом.

Ход решения

Обозначим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ так, что $$\angle A=90^\circ$$, $$\angle C=120^\circ$$, $$AC=a$$, $$CD=a$$. Пусть $$MN$$ — средняя линия трапеции.

1) Так как $$AC=CD=a$$, то $$\triangle ACD$$ равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle CAD=\angle CDA=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

2) Поскольку $$MN$$ — средняя линия трапеции, то $$MN\parallel AD$$. Точка $$O$$ — середина диагонали $$AC$$, а точка $$N$$ — середина боковой стороны $$CD$$, значит в треугольнике $$ACD$$ отрезок $$ON$$ — средняя линия. Поэтому

$$ON=\frac{1}{2}AD.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$\angle BAC=30^\circ$$, а гипотенуза $$AC=a$$. Тогда катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$BC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}.$$

Так как $$ABCD$$ — прямоугольная трапеция, то $$AD=BC+CD$$, следовательно

$$AD=\frac{a}{2}+a=\frac{3a}{2}.$$

Тогда

$$ON=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot \frac{3a}{2}=\frac{3a}{4}.$$

Поскольку $$M$$ и $$N$$ — середины боковых сторон трапеции, отрезок $$MN$$ является средней линией, а его длина равна полусумме оснований. Значит,

$$MN=\frac{3a}{4}.$$

Ответ: $$\frac{3a}{4}$$.