Упр.808 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$.
2. Точки $$A$$ и $$C$$ — середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, а точки $$B$$ и $$D$$ — середины двух других его сторон. Докажите, что для любой точки $$O$$ верно равенство $$OA+OC=OB+OD$$.

Пусть в четырёхугольнике $$A_1B_1C_1D_1$$ точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ — середины его сторон, а точка $$O$$ — произвольная.

Докажем, что $$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}.$$

Так как $$BC$$ — средняя линия треугольника $$B_1C_1D_1$$, то

$$BC=\frac12 B_1D_1,\qquad BC\parallel B_1D_1.$$

Аналогично, $$AD$$ — средняя линия треугольника $$A_1B_1D_1$$, значит

$$AD=\frac12 B_1D_1,\qquad AD\parallel B_1D_1.$$

Следовательно, $$BC\parallel AD,\qquad BC=AD,$$ то есть

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}.$$

Теперь запишем:

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC},$$

$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}.$$

Тогда

$$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}.$$

Переносим слагаемые:

$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}.$$

Что и требовалось доказать.