Упр.807 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, $$O$$ — произвольная точка. Докажите, что $$OA+OB+OC=OA_1+OB_1+OC_1$$.
Обозначим через $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ середины сторон $$BC,\;CA,\;AB$$ соответственно. Тогда для любой точки $$O$$ имеем
$$\overrightarrow{OA_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AA_1},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BB_1},\qquad \overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC_1}.$$
Сложим эти равенства:
$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}.$$
Осталось доказать, что
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1}=\vec 0.$$
Так как $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины сторон треугольника, то
$$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac12\overrightarrow{AC},$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{BC},$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\frac12\overrightarrow{CA}+\frac12\overrightarrow{CB}.$$
Складывая, получаем
$$\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{BB_1}+\overrightarrow{CC_1} =\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\vec 0,$$
так как $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec 0$$, $$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$$, $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\vec 0$$.
Следовательно,
$$\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$
Что и требовалось доказать.
