Упр.806 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности. Точка С делит отрезок АВ в отношении m:n, считая от точки А. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство ОС = n/m+nOA + m/m+nOB

Подробный ответ

Пусть трапеция $$ABCD$$ такова, что прямые $$BC$$ и $$AD$$ касаются окружности в точках $$E$$ и $$N$$ соответственно. Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OE \perp BC,\qquad ON \perp AD.$$

Так как $$AD \parallel BC$$, то прямые $$OE$$ и $$ON$$ перпендикулярны одной и той же прямой, значит, они совпадают. Следовательно, точки $$E, O, N$$ лежат на одной прямой.

Пусть $$F$$ и $$K$$ — середины боковых сторон $$AB$$ и $$CD$$. Тогда $$FK$$ — средняя линия трапеции, поэтому

$$FK \parallel AD \parallel BC.$$

Из рисунка и свойств трапеции получаем, что прямая $$FK$$ проходит через середину отрезка $$EN$$. Но $$O$$ лежит на прямой $$EN$$, а значит, точка $$O$$ принадлежит и средней линии $$FK$$.

Итак, прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр окружности.