Упр.805 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$. Известно, что $$AB:CD=2:3$$, $$AD:BC=2:1$$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $$S$$.
2. Три точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ расположены так, что $$BC=\frac{1}{2}AB$$. Докажите, что для любой точки $$O$$ справедливо равенство $$OB=\frac{1}{3}OA+\frac{2}{3}OC$$.

Обозначим стороны четырёхугольника так: $$AB=x,\quad CD=\frac{3}{2}x,\quad AD=y,\quad BC=\frac{1}{2}y.$$

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Подставим выражения:

$$x+\frac{3}{2}x=\frac{1}{2}y+y,$$

$$\frac{5}{2}x=\frac{3}{2}y,$$

откуда

$$5x=3y,\qquad y=\frac{5}{3}x.$$

Площадь описанного четырёхугольника равна

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр. Тогда

$$p=\frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$

Но для описанного четырёхугольника

$$AB+CD=BC+AD,$$

значит

$$AB+BC+CD+AD=2(AB+CD)=2(BC+AD),$$

и потому

$$p=AB+CD=BC+AD.$$

Пусть $$AB=2t,\quad CD=3t.$$ Тогда

$$AB+CD=5t.$$

Из условия $$AB+CD=BC+AD$$ и отношения $$AD:BC=2:1$$ положим

$$AD=2u,\quad BC=u.$$

Тогда

$$2u+u=5t \Rightarrow 3u=5t.$$

Следовательно,

$$u=\frac{5}{3}t,\quad AD=2u=\frac{10}{3}t.$$

Теперь найдём полупериметр:

$$p=AB+CD=2t+3t=5t.$$

Так как $$S=pr,$$ то

$$S=5tr,$$

откуда

$$t=\frac{S}{5r}.$$

Тогда

$$AB=2t=\frac{2S}{5r},\qquad CD=3t=\frac{3S}{5r},$$

$$BC=u=\frac{5}{3}t=\frac{S}{3r},\qquad AD=2u=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ: $$AB=\frac{2S}{5r},\; CD=\frac{3S}{5r},\; BC=\frac{S}{3r},\; AD=\frac{2S}{3r}.$$