Упр.805 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Известно, что АВ : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S. Три точки А, В и С расположены так, что ВС = 1/2АВ. Докажите, что для любой точки О справедливо равенство OB=1/3OA+2/3OC.
Обозначим стороны четырёхугольника так, что $$AB:CD=2:3,$$ а $$AD:BC=2:1.$$
Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+AD.$$
Пусть $$AB=2x,$$ тогда $$CD=3x.$$ По условию
$$BC=y,\quad AD=2y.$$
Подставим в равенство:
$$2x+3x=y+2y,$$
откуда
$$5x=3y.$$
Площадь четырёхугольника, описанного около окружности радиуса $$r,$$ выражается формулой
$$S=pr,$$
где $$p$$ — полупериметр. Тогда
$$AB+BC+CD+AD=\frac{S}{r}.$$
С другой стороны,
$$AB+BC+CD+AD=2x+y+3x+2y=5x+3y.$$
Из равенства $$5x=3y$$ получаем
$$5x+3y=2\cdot 5x=2\cdot 3y.$$
Удобнее выразить стороны через $$S$$. Из
$$AB+CD=BC+AD$$
следует
$$AB+CD=BC+AD=\frac{1}{2}\cdot \frac{S}{r}.$$
Тогда
$$AB+CD=\frac{S}{2r}.$$
Пусть $$AB=2x,$$ $$CD=3x.$$ Тогда
$$5x=\frac{S}{2r},$$
откуда
$$x=\frac{S}{10r}.$$
Следовательно,
$$AB=2x=\frac{S}{5r},\qquad CD=3x=\frac{3S}{10r}.$$
Теперь найдём $$BC$$ и $$AD.$$ Пусть $$BC=y,$$ тогда $$AD=2y.$$ Из равенства противоположных сторон:
$$2x+3x=y+2y,$$
то есть
$$5x=3y.$$
Подставляя $$x=\frac{S}{10r},$$ получаем
$$y=\frac{5x}{3}=\frac{S}{6r}.$$
Значит,
$$BC=\frac{S}{6r},\qquad AD=\frac{S}{3r}.$$
Во второй задаче пусть $$\vec{OA}=\vec a,$$ $$\vec{OB}=\vec b,$$ $$\vec{OC}=\vec c.$$ Так как $$BC=\frac12 AB,$$ то векторно
$$\vec{BC}=\frac12\vec{AB}.$$
Но
$$\vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB},\qquad \vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}.$$
Тогда
$$\vec{OC}-\vec{OB}=\frac12(\vec{OB}-\vec{OA}).$$
Умножим на $$2$$:
$$2\vec{OC}-2\vec{OB}=\vec{OB}-\vec{OA}.$$
Перенесём слагаемые:
$$3\vec{OB}=\vec{OA}+2\vec{OC}.$$
Делим на $$3$$:
$$\vec{OB}=\frac13\vec{OA}+\frac23\vec{OC}.$$
Ответ
$$AB=\frac{S}{5r},\quad CD=\frac{3S}{10r},\quad BC=\frac{S}{6r},\quad AD=\frac{S}{3r};$$
$$\vec{OB}=\frac13\vec{OA}+\frac23\vec{OC}.$$
