Упр.804 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат. Основание AD трапеции ABCD в три раза больше основания ВС. На стороне AD отмечена такая точка К, что АК = 1/3AD. Выразите векторы СК, KD и ВС через векторы а = В А и b = CD.

Подробный ответ

Обозначим $$\vec a=\overrightarrow{BA}$$, $$\vec b=\overrightarrow{CD}$$.

Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$BC \parallel AD$$ и $$BC=AD$$. По условию $$AD=3BC$$, а также $$AK=\frac13 AD$$, значит

$$AK=BC.$$

Поскольку $$K\in AD$$ и $$BC\parallel AD$$, то $$AK\parallel BC$$. Следовательно, в четырёхугольнике $$ABCK$$ одна пара противоположных сторон равна и параллельна, значит $$ABCK$$ — параллелограмм.

Тогда

$$\overrightarrow{CK}=\overrightarrow{BA}=\vec a.$$

Далее

$$\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CK}=\vec b-\vec a.$$

Кроме того, в прямоугольнике $$BC=AK$$, а из параллелограмма $$ABCK$$ имеем $$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AK}$$. Так как $$AK=\frac13 AD$$ и $$AD=3BC$$, получаем

$$\overrightarrow{BC}=\frac12\overrightarrow{KD}=\frac12\vec b-\frac12\vec a.$$