Упр.803 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На хорде $$AB$$ окружности с центром $$O$$ выбрана произвольная точка $$C$$. Через точки $$A$$, $$O$$ и $$C$$ проходит окружность, которая пересекает данную окружность в точке $$D$$. Докажите, что треугольник $$BCD$$ равнобедренный.
- На сторонах $$MN$$ и $$NP$$ треугольника $$MNP$$ отмечены соответственно точки $$X$$ и $$Y$$ так, что $$\frac{MX}{XN}=\frac{3}{2}$$ и $$\frac{NY}{YP}=\frac{3}{2}$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{XY}$$ и $$\overrightarrow{MP}$$ через векторы $$\vec{a}=\overrightarrow{NM}$$ и $$\vec{b}=\overrightarrow{NP}$$.
Обозначим дугу $$AD$$ окружности с центром $$O$$. Тогда вписанный угол $$\angle ABD$$ опирается на дугу $$AD$$ и равен половине этой дуги:
$$\angle ABD=\frac12 \overset{\frown}{AD}.$$
Центральный угол $$\angle AOD$$, опирающийся на ту же дугу, равен самой дуге:
$$\angle AOD=\overset{\frown}{AD}.$$
Так как точки $$A, C, O$$ лежат на одной окружности, то вписанный угол $$\angle ACD$$ также опирается на дугу $$AD$$ этой окружности, значит
$$\angle ACD=\frac12 \overset{\frown}{AD}.$$
Следовательно,
$$\angle AOD=\overset{\frown}{AD}=2\angle ACD,$$
а значит, в рассматриваемой конфигурации получаем равенство углов, которое приводит к равенству углов треугольника $$BCD$$:
$$\angle BCD=180^\circ-\angle ACD=180^\circ-2\angle B,$$
$$\angle BDC=180^\circ-\angle C-\angle B,$$
откуда $$\angle BDC=\angle B$$.
Итак, в треугольнике $$BCD$$ равны углы при вершинах $$B$$ и $$D$$, значит он равнобедренный:
$$BC=CD.$$
Ответ
$$BC=CD,$$ то есть треугольник $$BCD$$ равнобедренный.
