Упр.802 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две окружности пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$. Через точку $$A$$ проведена прямая $$m$$, пересекающая эти окружности в точках $$C$$ и $$D$$. Через точки $$C$$ и $$D$$ проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке $$K$$. Докажите, что:
а) величина угла $$CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$;
б) четырёхугольник $$BCKD$$ можно вписать в окружность. - На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечена точка $$N$$ так, что $$BN=2NC$$. Выразите вектор $$\overrightarrow{AN}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{BA}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$.
Пусть окружности пересекаются в точках $$A$$ и $$B$$, прямая $$m$$ пересекает их в точках $$C$$ и $$D$$, а касательные в точках $$C$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$K$$.
Из свойства касательной и секущей получаем, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, стягиваемой этой хордой. Поэтому
$$\angle KCB=\frac12\overset{\frown}{CB}=\frac12\overset{\frown}{AC}+\frac12\overset{\frown}{AB},$$
$$\angle KDB=\frac12\overset{\frown}{BD}=\frac12\overset{\frown}{AD}+\frac12\overset{\frown}{AB},$$
$$\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB},\qquad \angle ADB=\frac12\overset{\frown}{AB}.$$
Тогда
$$\angle CBD=\frac12\overset{\frown}{AC}+\frac12\overset{\frown}{AD}.$$
Следовательно,
$$\angle CKD=\angle CBD+\angle KCB+\angle KDB.$$
Подставляя найденные выражения, получаем
$$\angle CKD=\left(\frac12\overset{\frown}{AC}+\frac12\overset{\frown}{AD}\right)+\left(\frac12\overset{\frown}{AC}+\frac12\overset{\frown}{AB}\right)+\left(\frac12\overset{\frown}{AD}+\frac12\overset{\frown}{AB}\right).$$
Так как сумма дуг $$\overset{\frown}{AC}+\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{DA}$$ не зависит от выбора секущей $$m$$, то и величина угла $$\angle CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$.
Теперь докажем, что четырёхугольник $$BCKD$$ вписанный. Для этого достаточно показать, что сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$:
$$\angle BCK+\angle BDK=180^\circ.$$
Но
$$\angle BCK=\angle KCB,\qquad \angle BDK=\angle KDB,$$
а значит, по свойству касательных и дуг
$$\angle BCK+\angle BDK=\frac12\overset{\frown}{CB}+\frac12\overset{\frown}{BD}.$$
С другой стороны, дуги $$\overset{\frown}{CB}$$ и $$\overset{\frown}{BD}$$ вместе составляют развернутый угол, поэтому
$$\angle BCK+\angle BDK=180^\circ.$$
Следовательно, четырёхугольник $$BCKD$$ можно вписать в окружность.
Ответ: а) $$\angle CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$; б) четырёхугольник $$BCKD$$ вписанный.
