Упр.802 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 802. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Через точки С и D проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке К. Докажите, что: а) величина угла CKD не зависит от выбора прямой m; б) четырёхугольник BCKD можно вписать в окружность. На стороне ВС треугольника ABC отмечена точка N так, что BN = 2NC. Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b= ВС.

Подробный ответ

Обозначим радиусы окружностей, проходящих через точки $$A$$ и $$B$$, как угодно: для дальнейшего рассуждения это не требуется.

Так как прямая $$m$$ проходит через точку $$A$$ и пересекает первую окружность в точках $$A$$ и $$C$$, а вторую — в точках $$A$$ и $$D$$, то для углов, образованных касательной и хордой, имеем:

$$\angle KCB=\frac12 \overset{\frown}{CB}=\frac12\overset{\frown}{AC}+\frac12\overset{\frown}{AB},$$

$$\angle KDB=\frac12 \overset{\frown}{BD}=\frac12\overset{\frown}{AD}+\frac12\overset{\frown}{AB},$$

$$\angle ACB=\frac12 \overset{\frown}{AB}, \qquad \angle ADB=\frac12 \overset{\frown}{AB}.$$

Тогда

$$\angle CBD=\frac12 \overset{\frown}{AC}+\frac12 \overset{\frown}{AD}.$$

Следовательно,

$$\angle CKD=\angle CBD+\angle KCB+\angle KDB.$$

Подставим найденные выражения:

$$ \angle CKD= \left(\frac12 \overset{\frown}{AC}+\frac12 \overset{\frown}{AD}\right) +\left(\frac12 \overset{\frown}{AC}+\frac12 \overset{\frown}{AB}\right) +\left(\frac12 \overset{\frown}{AD}+\frac12 \overset{\frown}{AB}\right). $$

После сокращения получаем, что величина $$\angle CKD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$, то есть является постоянной.

Теперь докажем, что четырёхугольник $$BCKD$$ вписанный. Для этого достаточно показать, что сумма противоположных углов равна $$180^\circ$$.

Из предыдущих равенств:

$$\angle C+\angle D=\angle KCB+\angle KDB=180^\circ,$$

значит, точки $$B, C, K, D$$ лежат на одной окружности.

Итак, четырёхугольник $$BCKD$$ можно вписать в окружность.

На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ точка $$N$$ такова, что $$BN=2NC$$. Тогда

$$BN=\frac23\,BC=\frac23\,\vec b.$$

По правилу треугольника

$$ \vec{AN}=\vec{AB}+\vec{BN}. $$

Так как $$\vec a=\vec{BA}$$, то $$\vec{AB}=-\vec a$$. Следовательно,

$$ \vec{AN}=-\vec a+\frac23\,\vec b. $$