Упр.801 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла $$\angle CBD$$ не зависит от выбора прямой m.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что для любых векторов $$x$$ и $$y$$ справедливы неравенства $$|x|-|y| < |[+y| < |x|+|y|$$.
Обозначим радиусы окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ через $$R_1$$ и $$R_2$$. Так как точки $$A$$ и $$B$$ — общие для обеих окружностей, то для первой окружности точки $$A,B,C$$ лежат на одной окружности, а для второй — точки $$A,B,D$$.
По теореме о вписанном угле:
$$\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}, \qquad \angle ADB=\frac12\overset{\frown}{AB}.$$
Здесь $$\overset{\frown}{AB}$$ — одна и та же дуга, стягиваемая хордой $$AB$$ в каждой из окружностей. Значит, углы $$\angle ACB$$ и $$\angle ADB$$ постоянны и не зависят от выбора прямой $$m$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$CBD$$:
$$\angle CBD=180^\circ-\angle ACB-\angle ADB.$$
Так как $$\angle ACB$$ и $$\angle ADB$$ постоянны, то и угол $$\angle CBD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$.
Ответ: $$\angle CBD=\text{const}.$$
