Упр.799 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Диаметр $$\mathrm{АА}_1$$ окружности перпендикулярен к хорде $$\mathrm{ВВ}_1$$. Докажите, что градусные меры дуг $$\mathrm{АВ}$$ и $$\mathrm{АВ}_1$$, меньших полуокружности, равны.
- Задание учебника 2023 года. Дана равнобедренная трапеция $$\mathrm{ABCD}$$. Перпендикуляр, проведённый из вершины $$\mathrm{В}$$ к большему основанию $$\mathrm{AD}$$, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен $$7\ \text{см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.
Пусть $$BH\perp AD$$, где $$H$$ — основание перпендикуляра. Тогда в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ треугольники $$ABH$$ и $$CFD$$ равны по гипотенузе и катету, значит
$$AH=FD.$$
Средняя линия трапеции равна
$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$
Но в равнобедренной трапеции отрезок между основаниями, отсекаемый перпендикуляром из вершины, равен половине разности оснований, а средняя линия раскладывается на три части:
$$MN=MS+SP+PN.$$
При этом $$MS=\frac12 AH$$, $$PN=\frac12 FD$$, а из равенства $$AH=FD$$ получаем $$MS=PN.$$
Кроме того, $$SP=HF$$, так как $$S$$ и $$P$$ — основания перпендикуляров к основанию $$AD$$, а значит $$SP$$ равно расстоянию между ними.
Тогда
$$MN=MS+SP+PN=AH+HF=AF.$$
По условию больший из двух отрезков, на которые перпендикуляр делит основание, равен $$7$$ см, значит вся средняя линия равна этому же значению:
$$MN=7\text{ см}.$$
Ответ: $$7\text{ см}$$.
