Упр.798 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Даны две окружности радиусов $$r$$ и $$R$$. Расстояние между их центрами равно $$d$$ ($$d>R+r$$). Найдите отрезок их общей: а) внешней касательной; б) внутренней касательной.
2. Задание учебника 2023 года. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна $$48\ \text{см}$$, а средняя линия делится диагональю на два отрезка, равные $$11\ \text{см}$$ и $$35\ \text{см}$$. Найдите углы трапеции.

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$, а радиусы — через $$r$$ и $$R$$. Пусть $$d=O_1O_2$$, причём $$d>R+r$$.

Проведём общую касательную. Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной.

Для внешней касательной расстояние между центрами равно гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен $$R-r$$, а второй — искомый отрезок касательной. Тогда

$$AB=\sqrt{O_1O_2^2-(R-r)^2}=\sqrt{d^2-(R-r)^2}.$$

Для внутренней касательной соответствующий катет равен $$R+r$$, поэтому

$$CD=\sqrt{O_1O_2^2-(R+r)^2}=\sqrt{d^2-(R+r)^2}.$$

Ответ: а) $$\sqrt{d^2-(R-r)^2}$$; б) $$\sqrt{d^2-(R+r)^2}$$.