Упр.797 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Две окружности радиусов $$r$$ и $$R$$ касаются внешним образом в точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МК. а) Докажите, что угол $$KAM=90^\circ$$; б) найдите длину отрезка $$МК$$.
- Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.
Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры данных окружностей, а $$P$$ — точка касания общей внешней касательной $$MK$$ с прямой $$O_1O_2$$.
Так как $$MK$$ касается окружностей в точках $$K$$ и $$M$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной:
$$O_1K \perp MK,\qquad O_2M \perp MK.$$
Кроме того, окружности касаются внешним образом в точке $$A$$, значит, точки $$O_1$$, $$A$$, $$O_2$$ лежат на одной прямой, а
$$O_1A=r,\qquad O_2A=R.$$
Проведём через точку $$A$$ прямую, параллельную $$MK$$, и обозначим её пересечения с $$O_1K$$ и $$O_2M$$ через $$P$$ и $$Q$$. Тогда четырёхугольник $$KPMQ$$ — прямоугольник, поэтому
$$PK=PM,\qquad \angle KPM=90^\circ.$$
Из равенства касательных, проведённых из одной точки к окружности, получаем
$$PA=PK,\qquad PA=PM.$$
Следовательно, точка $$P$$ равноудалена от $$K$$ и $$M$$, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к $$KM$$. Но и точка $$A$$ также лежит на этом перпендикуляре, так как $$PA=PK=PM$$ и $$A$$ находится на прямой, параллельной $$KM$$. Поэтому
$$\angle KAM=90^\circ.$$
Теперь найдём $$MK$$. Рассмотрим прямоугольные треугольники с катетами, равными радиусам окружностей. Из подобия соответствующих треугольников и из того, что расстояние между центрами равно
$$O_1O_2=r+R,$$
получаем для отрезка касательной:
$$MK=2\sqrt{rR}.$$
Ответ: $$\angle KAM=90^\circ,\qquad MK=2\sqrt{rR}.$$
