Упр.794 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то её центр является точкой пересечения биссектрис углов этого четырёхугольника.
Сторона $$\text{АВ}$$ треугольника $$ABC$$ разделена на четыре равные части, и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $$\text{ВС}$$. Стороны $$\text{АВ}$$ и $$\text{АС}$$ треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен $$3{,}4\ \text{см}$$. Найдите два других отрезка.

Подробный ответ

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. В четырёхугольнике вписанная окружность касается каждой из его сторон, значит, она вписана в каждый из четырёх углов четырёхугольника. Следовательно, её центр лежит на биссектрисах всех четырёх углов.

Точка, лежащая на биссектрисах всех углов четырёхугольника, является точкой их пересечения. Значит, центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис углов четырёхугольника, что и требовалось доказать.