Упр.793 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В остроугольном треугольнике $$АВС$$ проведены высоты $$АК$$, $$ВМ$$, $$CN$$, пересекающиеся в точке $$Н$$. Докажите, что около каждого из четырёхугольников $$СМНК$$, $$AMHN$$, $$BNHK$$ можно описать окружность.
2. Боковые стороны трапеции равны $$13\text{ см}$$ и $$15\text{ см}$$, а периметр равен $$48\text{ см}$$. Найдите среднюю линию трапеции.

В четырёхугольнике $$CMHK$$ углы при вершинах $$M$$ и $$K$$ прямые, так как $$BM \perp AC$$ и $$CK \perp AB$$. Значит,

$$\angle CMH+\angle CKH=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, около четырёхугольника $$CMHK$$ можно описать окружность.

Аналогично, в четырёхугольнике $$AMHN$$ углы при вершинах $$M$$ и $$N$$ прямые, поэтому

$$\angle AMH+\angle ANH=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

Значит, около четырёхугольника $$AMHN$$ тоже можно описать окружность.

Наконец, в четырёхугольнике $$BNHK$$ углы при вершинах $$N$$ и $$K$$ прямые, поэтому

$$\angle BNH+\angle BKH=90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

Следовательно, около четырёхугольника $$BNHK$$ также можно описать окружность.

Итак, около каждого из четырёхугольников $$CMHK$$, $$AMHN$$ и $$BNHK$$ можно описать окружность.